Plano de aula turma 6

Plano de Aula: Frações.

Justificativa:

Este plano propõe uma investigação sobre as relações de ordem entre frações e operações com frações para o ensino dos conceitos da matemática ensinada na escola, especificamente para os conceitos de frações trabalhados geralmente em sextos anos do ensino fundamental. O objetivo principal é analisar e compreender as potencialidades pedagógicas da aprendizagem de conceitos por meio das relações de ordem e operações.

Objetivos: 

- Reconhecer a necessidade de utilização de outros números em situações em que os números naturais não são suficientes para exprimir o resultado de uma divisão.
- Utilizar diferentes registros (desenhos, esquemas, algoritmo) para representar resultados que não podem ser expressos por um número natural.
- Estabelecer relações entre divisão e frações. 

- Reconhecer a equivalência entre escritas fracionárias. 

- Localizar números fracionários entre inteiros.

Conteúdos:

- Relações de ordem entre Frações.

- Operações com números racionais como expressão do resultado da divisão de dois números naturais.

Tempo estimado:
Seis aulas. 

Metodologia:

Investigue o que o aluno sabe sobre divisão. Altere o material a ser usado para mobilizar o raciocínio, propondo a mesma atividade com uso de blocos de madeira e tampas de garrafa. Inicie o trabalho com os números racionais partindo de situações que envolvam as ideias de medir ou repartir igualmente, especialmente nos casos em que os alunos têm de agir sobre o resto da divisão. Isso permite que eles reconheçam a necessidade de ampliação do conjunto dos números naturais, pois têm de decidir se podem ou não continuar a divisão de acordo com o contexto.

Estratégias:

1)    Inicie a sequência dividindo a turma em duplas e propondo que resolvam os problemas abaixo.

a)     Os números a seguir se encontram entre 0 (zero) e 3:

3/7; 8/3; 4/5; 11/4; 21/35; 1 5/7; 9/5; 17/7; 14/5 e 11/9.

Localize-os na coluna correspondente:

Frações/Intervalos	Entre 0 e 1	Entre 1 e 2	Entre 2 e 3
3/7
8/3
4/5
11/4
21/35
1 5/7
9/5
17/7
14/5
11/9

2)    Após a divisão convide alguns grupos para expor o procedimento que eles realizaram para resolver a atividade. Justificando cada resultado.

3)    Em seguida, organize uma discussão coletiva sobre de que modo cada grupo decidiu em qual das divisões era possível continuar repartindo o resto. Assim, os alunos podem compreender que, apesar dos problemas serem resolvidos por uma mesma conta, não é possível continuar a divisão em ambos os casos. 

4)    Elaborem um registro sobre o conteúdo para anexarem no caderno ilustrando os pontos essenciais para estudo da fração.

5)    Resolver os exercícios organizando um comentário sobre o procedimento utilizado para chegar ao resultado. (Pode-se utilizar desenhos, esquemas), mas não deixe de justificar as respostas dos exercícios.

a) Nove balões foram distribuídos entre quatro crianças e todas receberam a mesma quantidade de balões. Quantos balões cada criança receberam? 

b) Nove chocolates são repartidos igualmente entre quatro crianças. Qual é a quantia de chocolate que cada criança recebeu? 

6)    Percorra as duplas para observar as estratégias que os alunos utilizam para resolver as questões, bem como os registros realizados. Observe também se as duplas reconhecem que ambos os problemas estão representados com os mesmos números e podem ser resolvidos com uma mesma conta. 

7)    Entre que números inteiros se localizam as seguintes frações? 47/4, 28/3, 33/7, 84/9, 9/5, 85/12, 125/10. Para resolvê-los, os alunos terão que lançar mão de seus conhecimentos sobre a localização de frações entre inteiros. Para tanto, eles devem decompor a fração dada como sendo a adição de frações equivalentes a números inteiros mais a fração restante. Tomemos, como exemplo, a localização de 11/4. Este número pode ser desmembrado como 4/4 + 4/4+3/4, ou seja, 2+3/4, o que leva a concluir que 11/4 está entre 2 e 3. A análise dessa estratégia pode levar a procedimentos mais econômicos, como por exemplo, a pergunta quantas vezes 4 "cabe" em 11? Isso permite expressar mais diretamente 11/4 como soma de 8/4 + 3/4.

8)    Proponha outras operações envolvendo situações de repartir. Por exemplo: dividir igualmente sete folhas de papel entre três crianças e sete canetinhas para três alunos. Observe se os alunos identificam a divisão como a operação que propicia a resolução dos problemas e se reconhecem em qual dos problemas propostos é possível continuar a dividir o resto. Na apresentação dos diferentes registros que os alunos utilizaram, verifique se já aparece a linguagem matemática que equivale aos registros pictóricos: 2 1/3 ou 7/3. Apoiado nesse e em outros exemplos, apresente uma primeira definição de fração - um inteiro dividido em partes iguais. Novamente, os alunos se vêm em situação de produzir um argumento que assegure uma conclusão sobre um conjunto infinito, já que não é possível a exploração caso a caso. Abra um espaço para a discussão das estratégias utilizadas e peça para anotarem as conclusões.

 Material necessário:

Lousa, giz, livro didático, caderno do aluno, tampas de garrafa, bloco de madeiras, cartolina, data show. (vídeo sobre fração para ilustrar a aula), lápis, papel e borracha. Lista de exercícios diversificada para trabalharmos o raciocínio e exercícios relacionados ao SARESP e PROVA BRASIL.

Avaliação:

A avaliação dar-se-á de acordo o desenvolvimento dos alunos durante todas as aulas sempre com apresentações dos procedimentos utilizados para resolver os exercícios, a exposição dos alunos durante o bate-papo sobre os exercícios resolvidos, avaliação objetiva, interação entre professor-aluno, interação aluno-aluno, resolução da lista de exercícios e exposição dos trabalhos realizados em grupo e em individual (tarefa de casa).

Recuperação:

A recuperação ocorrerá continuamente e paralelamente a cada etapa desenvolvida, juntamente com auxílio do professor de apoio e material lúdico extra para melhor desenvolver o raciocínio matemático argumentando os possíveis resultados obtido,além de atividade bimestral em blog.

Nomes: Alíria Lauren Ferreira de Souza; Ana Laura de Miranda Reis Leite; Maria Gisleine Cabral Nunes da Silva ; Ursula Mara Vilela da Silva ; Valéria Aparcida Vendramini Pantojo ; Vicente de Paula Romelli; Vera de Fátima Albuquerque Pire.

Mapa referente ao tema do módulo III

Uma equação matemática para homenagear os matemáticos que também amam. Feliz Dia dos Namorados!!!

Porcentagem - turma 6

Explorando porcentagens

Objetivos
Resolver situações diversas com cálculos percentuais.
- Relacionar as situações e suas estratégias de resolução.


Conteúdo
- Porcentagem.

Anos
6º e 7º.

Tempo estimado
Seis aulas.
Procedimento :A história da porcentagem - leitura em grupo

Relatos históricos datam que o surgimento dos cálculos percentuais aconteceu por volta do século I a.C., na cidade de Roma. Nesse período, o imperador romano decretou inúmeros impostos a serem cobrados, de acordo com a mercadoria negociada. Um dos impostos criados pelos chefes romanos era denominado centésimo rerum venalium, e obrigava o comerciante a pagar um centésimo pela venda das mercadorias no mercado. Naquela época, o comércio de escravos era intenso e sobre as vendas era cobrado um imposto de 1/25 (um vinte e cinco avos).

Os cálculos eram feitos sem a utilização do símbolo de porcentagem, eram realizados de forma simples, com a utilização de frações centesimais. Por exemplo, na cobrança de um imposto no valor de 6/100 da comercialização, eles cobravam seis centésimos do preço do produto, isto é, dividiam o produto em cem partes iguais e pegavam seis partes, basicamente o que é feito hoje sem a utilização de calculadoras. 

A intensificação do comércio por volta do século XV criou situações de grande movimentação comercial. O surgimento dos juros, lucros e prejuízos obrigou os matemáticos a fixarem uma base para o cálculo de porcentagens. A base escolhida foi o 100. O interessante é que mesmo com essa evolução, o símbolo que conhecemos hoje ainda não era utilizado pelos comerciantes. Muitos documentos encontrados e registrados apresentam uma forma curiosa de expressar porcentagens. Os romanos utilizavam os algarismos do seu sistema de numeração seguido de siglas como, “p cento” e “p c”. Por exemplo, a porcentagem de 10% era escrita da seguinte forma: “X p cento” ou “X p c”.

A crescente utilização da porcentagem no comércio e as suas inúmeras formas de escrita representacional originaram o símbolo que conhecemos hoje, %. Atualmente, a porcentagem é estritamente importante para a Matemática financeira, dando suporte às inúmeras movimentações financeiras, na representação do mercado de ações envolvendo as operações de compra e venda, na construção de gráficos comparativos, qualitativos e quantitativos, na constituição de alíquotas de diversos impostos entre inúmeras outras situações.


Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Material necessário
Calculadoras e notícias de jornais, propagandas e folhetos comerciais com porcentagens.

Desenvolvimento 
1ª etapa Distribua as notícias, as propagandas e os folhetos aos alunos e peça que, em duplas, eles interpretem o significado dos números acompanhados do sinal %. O que significam? Como foram calculados? Todos deverão expor suas hipóteses e registar.

2ª etapa Retome as conclusões dos estudantes sobre como obter porcentagens. Em seguida, apresente a seguinte lista de cálculos para que, individualmente, eles os classifiquem em fáceis e difíceis e justifiquem suas decisões.
- 100% de 50
- 12% de 332
- 30% de 1.556
- 150% de 400
- 50% de 30
- 11% de 622
- 43% 1.533
- 6% de 998
- 25% de 44
- 95% de 10
- 69% de 69
- 0,5% de 2.978
- 50% de 50
- 310% de 198

Flexibilização
Converse com o professor da sala de recursos para ver as possibilidades de adaptação.

3ª etapa Organize uma sessão de cálculo mental com os exercícios anteriores para recuperar as estratégias descritas nas justificativas. Para conferir se as respostas estão certas, os alunos devem usar a calculadora.

Flexibilização
Selecione os exercícios com porcentagens básicas, como 100% e 50% e valores redondos.

4ª etapa Peça que os alunos registrem os tipos de resolução que surgiram na sessão de cálculo mental e, então, confiram se as propostas poderiam ser mais práticas. A ideia aqui é levar a turma a perceber que toda porcentagem envolve a questão de proporcionalidade entre o todo e uma parte. Sistematize o conteúdo, mostrando os prós e os contras das resoluções.

5ª etapa Apresente problemas como estes e recomende que a garotada resolva-os considerando a relação de proporção:
- "Uma televisão custava 523 reais em agosto e em setembro seu preço passou para 700 reais. Qual o aumento percentual do preço?"
- "Débora teve um aumento de 100% na mesada, de 32 reais. Porém ela percebeu que o acréscimo não é suficiente para comprar um jogo que custa 104 reais. Qual o aumento percentual que ela precisaria para fazer a compra?"

Flexibilização Substitua os valores originais por números redondos.

Avaliação
Com propostas semelhantes às da 5ª etapa, analise se a turma desenvolveu a noção de proporcionalidade em questões que envolvem porcentagem e se sabe identificar qual é o inteiro. É fundamental que todos tenham aprendido que ele nem sempre é 100%.

Flexibilização
No caso de estudantes com deficiência intelectual, retome a investigação das relações entre porcentagem e proporção com base em cálculos que envolvam números redondos e percentuais básicos, como 25, 50 e 100.

Avaliação2: Participação

Recuperação: Com jogos e atividades diferenciadas, auxilio do professor auxiliar.

Plano de aula: A História da Matemática: como números e frações estão presentes em nosso cotidiano.

"A História da Matemática": como números e frações estão presentes em nosso cotidiano

 

                                             

Introdução
Produzida pela renomada rede inglesa BBC, A História da Matemática é uma série de quatro capítulos lançada em 2008. Os episódios são apresentados por Marcus du Sautoy, professor da Universidade de Oxford, que desde os primeiros minutos preocupa-se em demonstrar como a Matemática faz parte do nosso cotidiano. A jornada começa no Egito antigo, com o uso do sistema decimal, e termina nos dias de hoje, passando por Grécia, Babilônia, Índia, Oriente Médio, Europa e América. A sugestão é da professora Daniela Padovan, mestre em Educação Matemática e diretora da EMEI Pero Neto.

Objetivos
Estabelecer a relação entre a divisão de números naturais e as frações.

Conteúdos
História da Matemática, relação entre divisão e fração e composição de frações.

Trechos selecionados
A partir da divisão dos pães até o final da explicação sobre fração do Olho de Órus (10m24s a 13m24s).

Atividade
Passe o trecho selecionado. Faça uma pausa aos 10m48s e proponha que os alunos solucionem o problema apresentado. Em seguida, exiba o trecho em que é apresentada a solução do problema e compare com as respostas encontradas pelos alunos. Existem diferentes maneiras de resolvê-lo. Represente, em linguagem matemática, a divisão dos 9 pães entre 10 pessoas, chegando à fração irredutível: 1/2 + 1/3 + 1/15 = 27/30 = 9/10. Em seguida, peça que eles explorem a soma das frações do Olho de Órus, que pode se aproximar de 1, sem, porém, chegar ao inteiro (1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 63/64). O mesmo ocorre se continuarmos a somar mais "metades": 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 = 255/256

Avaliação
Observe a participação na atividade e se os alunos solucionam os problemas. 

Plano de aula turma 6

Plano de aula

Tema: Frações

Objetivo: Compreender o significado das frações na representação de medidas não inteiras e da equivalência de frações.

Justificativa: Desenvolver habilidades e competências.

Procedimentos metodológicos:Leitura em grupo:

História

No antigo Egito por volta do ano 3000 a. C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno. Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no antigo Egito os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

Entendendo a fração:Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com vírgula) e números mistos.

Assim, podemos concluir que o surgimento do número fracionário veio da necessidade de representar quantidades menores que inteiros, por exemplo, 1 bolo é um inteiro, mas se comermos um pedaço, qual seria a representação numérica que esse pedaço e o resto do bolo representaria? Foi a necessidade de criar uma representação numérica para as partes de um inteiro que proporcionou o surgimento dos números fracionários que iremos estudar nesta seção.

Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática

Desenho, dominó de frações, recortes, receitas, colagem, história das frações e exercícios.

Recurso: Papel quadriculado, tesoura, régua, cola, calculadora, livro didático, cartolina, canetas hidrográficas, caderno do aluno.

Avaliação: Participação individual e grupo, verificação do conteúdo, habilidades e competências para generalizar o conceito.

Recuperação: Intervenções pontuais e imediatas, retomada de maneira diferenciada.
omes: Alíria Lauren Ferreira de Souza; Ana Laura de Miranda Reis Leite; Maria Gisleine Cabral Nunes da Silva ; Ursula Mara Vilela da Silva ; Valéria Aparcida Vendramini Pantojo ; Vicente de Paula Romelli; Vera de Fátima Albuquerque Pire.

A História do Símbolo do Infinito

A História do Símbolo do Infinito

Os Matemáticos estabeleceram a notação aparentemente críptica das fórmulas não como linguagem secreta, mas como maneira de aumentar a clareza. O símbolo de infinito é um dos primeiros exemplos disso.

A literatura matemática de antigamente era, pelo menos à primeira vista, mais compreensível e acessível do que hoje, pois para descrever objetos matemáticos e suas relações, os autores utilizavam a linguagem escrita corriqueira e então.

A moderna linguagem de fórmulas, que impõe vários obstáculos intransponíveis para muitos leigos e, com isso, contribui para a pouca popularidade da disciplina, deve sua existência não a uma necessidade de proteção de segredos. Ao contrário, ela é assim pela necessidade de clareza. A história mostra que os símbolos surgiram para melhor formular hipóteses e argumentos, e com isso ganhar enfoques novos e mais precisos.

O século XVII representou um salto no desenvolvimento da matemática e das ciências naturais. Entre outras coisas, foi criado o cálculo diferencial e integral para tratar de problemas físicos concretos, relativos ao movimento e velocidades dos corpos. Na virada para o século XVIII, Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) lançaram as bases de uma teoria sistemática. Essa evolução geral de conteúdo na matemática favoreceu o nascimento da linguagem de fórmulas.

O inglês John Wallis (1616-1703) foi um dos estudiosos mais ligados a esse desenvolvimento formal da matemática de seu tempo. Além de introduzir uma série de simplificações na escrita algébrica, ele foi o primeiro a abreviar o conceito de “infinito” com o símbolo ∞.

O problema do infinito – seu significado para a matemática, a filosofia e a teologia – era debatido havia mais de 2 mil anos. Utilizada por Aristóteles, a palavra grega “apeiron” já se destacava no tempo pré-socrático pela sua multiplicidade de significados. Ela queria dizer sem limites, incerto, absurdamente grande, e possuía também uma conotação negativa, correspondente ao caos do qual o mundo se formou. Aristóteles, de fato, via a infinitude como imperfeição. Foi somente no início da era cristã que se identificou o “infinito” ao “Um” divino.

As reflexões metafísicas da Idade Média, acerca da natureza do infinito e da essência do contínuo, prepararam o terreno para a abordagem matemática do cálculo infinitesimal no século XVII. Por exemplo, ao descartar os métodos dos antigos no cálculo de superfícies, comparar um círculo com um polígono de infinitos lados e calcular a superfície do círculo como soma de muitos triângulos, Johannes Kepler (1571-1630) tomou por base considerações filosófico-teológicas feitas por Nicolau de Cusa (1401-1464) a respeito do infinito real e potencial.

A Algebrização da Geometria

 

Um aluno de Galileu, Bonaventura Cavalieri (1598-1647), foi quem adotou a visão de que a leis que valem para grandezas infinitas são diferentes das que aplicam às finitas. Com seu método dos indivisíveis ele estava menos preocupado com especulações filosóficas do que obter uma maneira prática de solucionar problemas, e conseguiu contornar certas dificuldades na soma de grandezas infinitamente pequenas.

Em seus trabalhos matemáticos, John Wallis aprimorou métodos de Cavalieri. Depois da faculdade. Quando ainda não tinha nenhuma relação com a matemática, foi ordenado sacerdote em Londres. Durante esse tempo, colaborou para a fundação da Royal Society, e em 1643 ganhou um prêmio especial por sai participação na guerra civil como decifrador de mensagens secretas.

Quando Wallis se tornou professor da cadeira Savilian de geometria, na Universidade de Oxford, isso não aconteceu por reconhecimento de suas realizações matemáticas, mas como agradecimento por suas atividades políticas. No entanto, ele logo provou ter méritos para essa posição acadêmica. Até hoje é lembrado como precursor do cálculo infinitesimal e principal antecessor de Newton, o qual foi bastante influenciado por sua obra Arithmetica infinitirum, de 1656.

Antes, Wallis já escrevera um trabalho (De sectionibus conics, 1655) em que se distanciava da concepção matemática grega ao descrever as seções da esfera como curvas planas, às quais correspondiam equações algébricas. Deduziu então as propriedades dessas seções diretamente das equações, sem argumento geométrico. Participou, assim, de um dos desenvolvimentos centrais da história da matemática, a algebrização da geometria.

Foi nessa obra que Wallis introduziu, pela primeira vez, uma modificação nas considerações de Cavalieri. Enquanto as superfícies de Cavalieri se dividiam em uma quantidade infinita de pedaços, Wallis fala de uma superfície como a soma de um número infinito de paralelogramos de igual tamanho, e descreve esse tamanho como uma “parte infinitamente pequena, 1/∞ do tamanho total, e o símbolo ∞ representa o infinito”.

A Possível Origem do Símbolo

 

Podemos apenas especular acerca das razões que o levaram a escolher esse símbolo. Wallis era filólogo bem antes de ser matemático, e sabia que o símbolo utilizado pelos romanos para o número 1000 (M) podia representar também “um número muito grande”. O matemático e filósofo holandês Bernhard Nieuwentijt (1654-1718) aproveitou, em seu trabalho Analysis infinitorum, de 1695, o símbolo “m” para o infinito. O novo símbolo de Wallis, porém, não tinha nenhum outro uso em matemática, além de ser bastante sugestivo, como laço que sempre retorna a si mesmo, como sugere a seqüência representada abaixo:

No começo do século XVIII, o símbolo entrou na literatura matemática e filosófica, sempre relacionado ao conceito do infinitamente pequeno, cuja legitimidade e significado estavam amparados pelo cálculo infinitesimal que nascia. Com o trabalho de Leonhard Euler (1707-1783), que adotou um ponto de vista formal e não admitiu legitimações metafísicas para as grandezas infinitamente pequenas, o símbolo ∞ tornou-se parte integrante da linguagem matemática.

No transcorrer do século XIX, a teoria das grandezas infinitesimais foi definitivamente substituída pela moderna teoria do cálculo diferencial e integral, que passou a exigir, com base no estudo de conceitos como os de continuidade e convergência, um cuidado crescente com a exatidão formal e lógica. O símbolo ∞ indicava, como hoje, processos de passagem ao limite: ele descreve, no sentido de Aristóteles, um infinito potencial.

George Cantor (1845-1918), fundador da teoria dos conjuntos e, portanto, da moderna teoria matemática do infinito real, preferiu separar os dois tipos de infinito também simbolicamente. Ele representou o primeiro número transfinito (infinito real) como (álefe zero). Essa escolha parece arbitrária só à primeira vista, pois a partir de 1700, o símbolo ∞ começou a ser utilizado também fora da matemática e da filosofia, para a representação do infinito ou da eternidade – por exemplo, nas cartas de tarô que representam o mago ou o trapaceiro. O correspondente símbolo cabalístico era a letra hebraica álefe.

Referências: 

[1] Scientific American - Edição Especial nº 15: As diferentes faces do infinito